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2017/12/01

孤独な素数

 

数学のハイレベルクラス(難関国立向け)で扱った中に、整数問題って怖いなって問題があるので、ちょっと紹介したいと思います。よかったら、考えてみてください。

 

 

 

次の問題になります。出題は、東北大学からです。

 

 

 

スクリーンショット 2017-12-01 19.02.40

 

 

 

 

さて、問題文は短いですが、どこから着手するか難しいですね。

 

 

 

 

 

ここで、少しヒントを。

 

 

 

スクリーンショット 2017-12-01 19.06.14

 

 

 

□の中には同じ素数が入ります。さて、何になるでしょうか?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

これを求めるために、ここで今回の主役である孤独な素数「2」について見ておきましょう。

 

 

 

 

2は、極めて特殊な素数です。何かといえば、「2以外に偶数になる素数は存在しない」からです。4, 6, 8 など、2の倍数は必ず合成数になります。

 

 

 

 

さて、問題に戻ってみましょう。

 

スクリーンショット 2017-12-01 19.10.26

 

 

とすると、2つの数の差が7(奇数)となっています。

 

 

差が奇数となるということは、(偶数)- (奇数)または(奇数)-(偶数)になるしかありませんが、要するに片方は偶数になるのです!

 

 

 

すなわち、pかqのどちらかは必ず偶数、しかも素数ということになれば、「2」しかありませんね。

 

 

 

したがって、p=2とq=2の両方を試せば答えが出るはずです。

 

 

 

 

 

 

 

あと、前問でこんなことを証明しているので、参考に。

 

 

スクリーンショット 2017-12-01 19.14.13

 

この結果を使ってしまってかまいません。

 

 

 

 

 

答えは、p=2、q=5 となります。

 

 

 

 

 

 

常識的に考えれば当たり前、言われれば当たり前のことを使わなければ解けないのが、整数問題の恐ろしさのひとつかと思います。

 

 

 

 

この形は以前京大でも出題され、同じく片方が2であることに気づかないと解けない問題でした。

 

 

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